ادامه حل تمرین صفحه6 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۶ حسابان یازدهم سلام به دانش‌آموزان عزیز! این سوال در مورد پیدا کردن **تعداد کمینه جملات** یک **دنباله حسابی** است که جمع آن‌ها از یک مقدار مشخص (۴۹۳) بیشتر شود. بیاین گام به گام حلش کنیم: ### گام اول: شناسایی مشخصات دنباله دنباله حسابی داده شده عبارت است از: $۵, ۸, ۱۱, \dots$ 1. **جمله اول ($a_1$)**: $a_1 = ۵$ 2. **قدر نسبت ($d$)**: اختلاف هر دو جمله متوالی است. $d = ۸ - ۵ = ۳$ یا $d = ۱۱ - ۸ = ۳$. پس **قدر نسبت** ما $d=۳$ است. ### گام دوم: نوشتن فرمول مجموع جملات فرمول **مجموع $n$ جمله اول** یک دنباله حسابی ($S_n$) به صورت زیر است: $$S_n = \frac{n}{۲} [۲a_1 + (n-۱)d]$$ ### گام سوم: جایگذاری مقادیر در فرمول مقادیر $a_1=۵$ و $d=۳$ را در فرمول $S_n$ جایگذاری می‌کنیم: $$S_n = \frac{n}{۲} [۲(۵) + (n-۱)(۳)]$$ $$S_n = \frac{n}{۲} [۱۰ + ۳n - ۳]$$ $$S_n = \frac{n}{۲} [۳n + ۷]$$ ### گام چهارم: تشکیل نامساوی از ما خواسته شده که حداقل چند جمله ($n$) را جمع کنیم تا مجموع ($S_n$) **بیشتر** از ۴۹۳ شود. پس باید نامساوی زیر را حل کنیم: $$S_n > ۴۹۳$$ $$\frac{n}{۲} (۳n + ۷) > ۴۹۳$$ برای خلاص شدن از کسر، دو طرف را در ۲ ضرب می‌کنیم: $$n (۳n + ۷) > ۹۸۶$$ $$۳n^۲ + ۷n > ۹۸۶$$ $$۳n^۲ + ۷n - ۹۸۶ > ۰$$ ### گام پنجم: حل نامساوی با استفاده از معادله درجه دو برای پیدا کردن مقادیر $n$ که این نامساوی را برقرار می‌کنند، ابتدا ریشه‌های معادله درجه دوم مربوطه را پیدا می‌کنیم: $$۳n^۲ + ۷n - ۹۸۶ = ۰$$ از **فرمول دلتا** ($ \Delta = b^۲ - ۴ac $) استفاده می‌کنیم: $$\Delta = (۷)^۲ - ۴(۳)(-۹۸۶)$$ $$\Delta = ۴۹ + ۱۲(۹۸۶)$$ $$\Delta = ۴۹ + ۱۱۸۳۲$$ $$\Delta = ۱۱۸۸۱$$ حالا ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم: $$n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{۲a} = \frac{-۷ \pm \sqrt{۱۱۸۸۱}}{۲(۳)}$$ اگر جذر ۱۱۸۸۱ را بگیریم، عدد **۱۰۹** به دست می‌آید. پس: $$n = \frac{-۷ \pm ۱۰۹}{۶}$$ ریشه اول: $$n_۱ = \frac{-۷ - ۱۰۹}{۶} = \frac{-۱۱۶}{۶} \approx -۱۹.۳۳$$ ریشه دوم: $$n_۲ = \frac{-۷ + ۱۰۹}{۶} = \frac{۱۰۲}{۶} = ۱۷$$ ### گام ششم: تعیین محدوده $n$ عبارت $۳n^۲ + ۷n - ۹۸۶$ یک سهمی رو به بالاست (چون ضریب $n^۲$ یعنی ۳ مثبت است). این عبارت برای مقادیر **خارج از ریشه‌ها** مثبت است. یعنی: $$n < n_۱ \quad \text{یا} \quad n > n_۲$$ با توجه به اینکه $n$ **تعداد جملات** است، باید یک عدد **طبیعی و مثبت** باشد. پس فقط حالت $n > n_۲$ قابل قبول است: $$n > ۱۷$$ ### گام هفتم: نتیجه‌گیری باید تعداد جملات ($n$) بزرگتر از ۱۷ باشد. از آنجا که $n$ باید یک عدد صحیح (و طبیعی) باشد و ما **حداقل** تعداد جملات را می‌خواهیم، کوچکترین عدد صحیح بزرگتر از ۱۷، عدد **۱۸** است. **نتیجه**: حداقل **۱۸ جمله** از این دنباله را باید با هم جمع کنیم تا حاصل آن از ۴۹۳ بیشتر شود. (یعنی $S_{۱۸} > ۴۹۳$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه ۶ حسابان یازدهم سلام دانش‌آموزان کوشا! این یک تمرین کمی چالشی‌تر در مورد **دنباله حسابی** است که مجموع جملات فرد و زوج را جداگانه به ما می‌دهد و از ما می‌خواهد جمله اول و قدر نسبت را پیدا کنیم. با تقسیم‌بندی جملات و نوشتن فرمول‌ها، حل مسئله آسان می‌شود. ### گام اول: شناسایی اطلاعات داده شده ما ۲۰ جمله اول ($n=۲۰$) یک دنباله حسابی را داریم. این جملات را می‌توان به دو دسته تقسیم کرد: * **جملات شماره‌های فرد (۱۰ جمله):** $a_۱, a_۳, a_۵, \dots, a_{۱۹}$ * تعداد این جملات: ۱۰ * **مجموع ($S_{odd}$)**: $S_{odd} = ۱۲۵$ * **جملات شماره‌های زوج (۱۰ جمله):** $a_۲, a_۴, a_۶, \dots, a_{۲۰}$ * تعداد این جملات: ۱۰ * **مجموع ($S_{even}$)**: $S_{even} = ۱۵۰$ **نکته کلیدی**: در یک دنباله حسابی، اختلاف بین هر جمله زوج و جمله فرد قبلی آن، برابر با قدر نسبت ($d$) است. یعنی $a_۲ - a_۱ = d$, $a_۴ - a_۳ = d$, و ... ### گام دوم: تشکیل معادلات با استفاده از مجموع‌ها 1. **مجموع کل ($S_{۲۰}$):** $$S_{۲۰} = S_{odd} + S_{even} = ۱۲۵ + ۱۵۰ = ۲۷۵$$ همچنین طبق فرمول مجموع $n$ جمله اول دنباله حسابی: $$S_{۲۰} = \frac{۲۰}{۲} [۲a_۱ + (۲۰-۱)d] = ۱۰ (۲a_۱ + ۱۹d)$$ پس: $۱۰ (۲a_۱ + ۱۹d) = ۲۷۵$ $$\mathbf{۲a_۱ + ۱۹d = ۲۷.۵} \quad \text{(معادله ۱)}$$ 2. **رابطه بین $S_{even}$ و $S_{odd}$:** مجموع جملات زوج منهای مجموع جملات فرد، به صورت زیر است: $$S_{even} - S_{odd} = (a_۲ - a_۱) + (a_۴ - a_۳) + \dots + (a_{۲۰} - a_{۱۹})$$ هر پرانتز برابر با **قدر نسبت ($d$)** است و ۱۰ پرانتز داریم (به تعداد جملات فرد و زوج): $$S_{even} - S_{odd} = d + d + \dots + d \quad (۱۰ \text{ بار})$$ $$S_{even} - S_{odd} = ۱۰d$$ با جایگذاری مقادیر داده شده: $$۱۵۰ - ۱۲۵ = ۱۰d$$ $$۲۵ = ۱۰d$$ $$\mathbf{d = ۲.۵} \quad \text{(معادله ۲)}$$ ### گام سوم: پیدا کردن جمله اول ($a_۱$) قدر نسبت ($d=۲.۵$) را در **معادله ۱** جایگذاری می‌کنیم: $$۲a_۱ + ۱۹d = ۲۷.۵$$ $$۲a_۱ + ۱۹(۲.۵) = ۲۷.۵$$ $$۲a_۱ + ۴۷.۵ = ۲۷.۵$$ $$۲a_۱ = ۲۷.۵ - ۴۷.۵$$ $$۲a_۱ = -۲۰$$ $$a_۱ = \frac{-۲۰}{۲}$$ $$\mathbf{a_۱ = -۱۰}$$ **نتیجه‌گیری:** * **جمله اول دنباله:** $a_۱ = -۱۰$ * **قدر نسبت دنباله:** $d = ۲.۵$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۶ حسابان یازدهم سلام دوستان عزیز! این سوال در مورد پیدا کردن **تعداد جملات** یک **دنباله هندسی** است که مجموع آن‌ها برابر ۶۳ شود. بیاین اول دنباله رو بشناسیم و بعد از فرمول مجموع استفاده کنیم. ### گام اول: شناسایی نوع دنباله و مشخصات آن جمله عمومی دنباله به صورت $a_n = ۲^{n-۱}$ داده شده است. جملات ابتدایی را می‌نویسیم: * **جمله اول ($a_۱$):** به ازای $n=۱$: $a_۱ = ۲^{۱-۱} = ۲^۰ = ۱$ * **جمله دوم ($a_۲$):** به ازای $n=۲$: $a_۲ = ۲^{۲-۱} = ۲^۱ = ۲$ * **جمله سوم ($a_۳$):** به ازای $n=۳$: $a_۳ = ۲^{۳-۱} = ۲^۲ = ۴$ دنباله ما $۱, ۲, ۴, ۸, \dots$ است. چون هر جمله از ضرب جمله قبلی در عدد ثابت ۲ به دست می‌آید، این یک **دنباله هندسی** است. * **جمله اول ($a_۱$)**: $a_۱ = ۱$ * **قدر نسبت ($r$)**: $r = \frac{۲}{۱} = ۲$ ### گام دوم: نوشتن فرمول مجموع جملات فرمول **مجموع $n$ جمله اول** یک دنباله هندسی ($S_n$) وقتی $r \ne ۱$ است، به صورت زیر تعریف می‌شود: $$S_n = \frac{a_۱ (r^n - ۱)}{r - ۱}$$ ### گام سوم: جایگذاری مقادیر و حل معادله ما می‌خواهیم مجموع $S_n$ برابر ۶۳ شود. پس $S_n = ۶۳$ و مقادیر $a_۱=۱$ و $r=۲$ را جایگذاری می‌کنیم: $$۶۳ = \frac{۱ (۲^n - ۱)}{۲ - ۱}$$ $$۶۳ = \frac{۲^n - ۱}{۱}$$ $$۶۳ = ۲^n - ۱$$ حالا این معادله را برای پیدا کردن $n$ حل می‌کنیم: $$۶۳ + ۱ = ۲^n$$ $$۶۴ = ۲^n$$ ### گام چهارم: پیدا کردن $n$ باید عددی را پیدا کنیم که وقتی ۲ به توان آن می‌رسد، حاصل ۶۴ شود. توان‌های ۲ را بررسی می‌کنیم: * $۲^۱ = ۲$ * $۲^۲ = ۴$ * $۲^۳ = ۸$ * $۲^۴ = ۱۶$ * $۲^۵ = ۳۲$ * $۲^۶ = ۶۴$ پس داریم: $$n = ۶$$ **نتیجه**: باید **۶ جمله** از این دنباله را با هم جمع کنیم تا مجموع آن‌ها برابر ۶۳ شود. (یعنی $S_۶ = ۶۳$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 6 صفحه ۶ حسابان یازدهم سلام بر شما! این سوال یک مثال عالی و ملموس از کاربرد **دنباله هندسی** در مسائل روزمره است. ما می‌خواهیم بدانیم چند مرحله طول می‌کشد تا مجموع مساحت‌های رنگ شده به ۹۹ درصد کل مساحت برسد. ### گام اول: شناسایی مساحت کل و مساحت‌های رنگ شده در هر مرحله * **مساحت کل ($A$)**: مربع به ضلع ۱ متر، پس مساحت کل $A = ۱ \times ۱ = ۱$ متر مربع است. * **هدف**: حداقل ۹۹ درصد مساحت مربع رنگ شود. یعنی مجموع مساحت‌های رنگ شده باید $\ge ۹۹\%$ از ۱ متر مربع باشد: **$S_n \ge ۰.۹۹$**. * **مساحت رنگ شده در هر مرحله:** 1. **مرحله ۱ ($a_۱$)**: نیمی از مساحت کل رنگ می‌شود: $a_۱ = \frac{۱}{۲} (۱) = \frac{۱}{۲}$ 2. **مرحله ۲ ($a_۲$)**: نیمی از **مساحت باقی مانده** رنگ می‌شود. مساحت باقی مانده بعد از مرحله ۱ برابر است با $۱ - \frac{۱}{۲} = \frac{۱}{۲}$. پس: $a_۲ = \frac{۱}{۲} \times \frac{۱}{۲} = \frac{۱}{۴}$ 3. **مرحله ۳ ($a_۳$)**: نیمی از **مساحت باقی مانده** رنگ می‌شود. مساحت باقی مانده بعد از مرحله ۲ برابر است با $۱ - (\frac{۱}{۲} + \frac{۱}{۴}) = ۱ - \frac{۳}{۴} = \frac{۱}{۴}$. پس: $a_۳ = \frac{۱}{۲} \times \frac{۱}{۴} = \frac{۱}{۸}$ ### گام دوم: تشکیل دنباله هندسی و یافتن مشخصات آن دنباله مساحت‌های رنگ شده در هر مرحله عبارت است از: $\frac{۱}{۲}, \frac{۱}{۴}, \frac{۱}{۸}, \dots$ که یک **دنباله هندسی** است. * **جمله اول ($a_۱$)**: $a_۱ = \frac{۱}{۲}$ * **قدر نسبت ($r$)**: $r = \frac{a_۲}{a_۱} = \frac{\frac{۱}{۴}}{\frac{۱}{۲}} = \frac{۱}{۲}$ ### گام سوم: نوشتن فرمول مجموع **مجموع $n$ جمله اول** این دنباله ($S_n$) برابر است با کل مساحت رنگ شده بعد از $n$ مرحله: $$S_n = \frac{a_۱ (۱ - r^n)}{۱ - r}$$ (از این فرمول برای $|r| < ۱$ استفاده می‌کنیم) ### گام چهارم: تشکیل و حل نامساوی می‌خواهیم $S_n \ge ۰.۹۹$ باشد. ابتدا مقادیر $a_۱$ و $r$ را جایگذاری می‌کنیم: $$S_n = \frac{\frac{۱}{۲} (۱ - (\frac{۱}{۲})^n)}{۱ - \frac{۱}{۲}} = \frac{\frac{۱}{۲} (۱ - (\frac{۱}{۲})^n)}{\frac{۱}{۲}}$$ $rac{۱}{۲}$ در صورت و مخرج ساده می‌شود: $$S_n = ۱ - (\frac{۱}{۲})^n$$ حالا نامساوی را تشکیل می‌دهیم: $$S_n \ge ۰.۹۹$$ $$۱ - (\frac{۱}{۲})^n \ge ۰.۹۹$$ نامساوی را حل می‌کنیم تا $(\frac{۱}{۲})^n$ را جدا کنیم: $$۱ - ۰.۹۹ \ge (\frac{۱}{۲})^n$$ $$۰.۰۱ \ge (\frac{۱}{۲})^n$$ $$\frac{۱}{۱۰۰} \ge (\frac{۱}{۲})^n$$ این معادل نامساوی زیر است: $$۱۰۰ \le ۲^n$$ ### گام پنجم: پیدا کردن کمینه $n$ باید کوچکترین عدد طبیعی $n$ را پیدا کنیم که در آن $۲^n$ از ۱۰۰ بزرگتر یا مساوی باشد. توان‌های ۲ را بررسی می‌کنیم: * $۲^۵ = ۳۲$ * $۲^۶ = ۶۴$ * $۲^۷ = ۱۲۸$ کوچکترین $n$ که $۲^n \ge ۱۰۰$ را برآورده می‌کند، **$n=۷$** است. **نتیجه**: پس از دست کم **۷ مرحله**، حداقل ۹۹ درصد از سطح مربع رنگ شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۶ حسابان یازدهم سلام دوستان! این سوال به ما کمک می‌کند تا **فرمول مجموع جملات دنباله هندسی** را به صورت مفهومی و تحلیلی درک کنیم و به یک اتحاد مهم ریاضی برسیم. --- ### بخش الف: پیدا کردن حاصل عبارت (مجموع دنباله هندسی) عبارت داده شده $۱ + a + a^۲ + \dots + a^{n-۱}$ یک **دنباله هندسی** است که: * **جمله اول ($a_۱$)**: $a_۱ = ۱$ * **قدر نسبت ($r$)**: $r = \frac{a}{۱} = a$ * **تعداد جملات ($n$)**: از توان $a^۰$ تا $a^{n-۱}$، دقیقاً **$n$** جمله داریم. از فرمول مجموع $n$ جمله اول دنباله هندسی استفاده می‌کنیم ($r=a \ne ۱$): $$S_n = \frac{a_۱ (r^n - ۱)}{r - ۱}$$ با جایگذاری $a_۱ = ۱$ و $r = a$: $$S_n = \frac{۱ (a^n - ۱)}{a - ۱}$$ **حاصل عبارت:** $$۱ + a + a^۲ + \dots + a^{n-۱} = \frac{a^n - ۱}{a - ۱}$$ --- ### بخش ب: نتیجه‌گیری از قسمت الف (اتحاد چاق و لاغر) ما در قسمت الف ثابت کردیم که: $$\frac{a^n - ۱}{a - ۱} = ۱ + a + a^۲ + \dots + a^{n-۱}$$ برای نتیجه‌گیری اتحاد مورد نظر، کافی است دو طرف این معادله را در **$(a-۱)$** ضرب کنیم. چون $a \ne ۱$ است، می‌توانیم این کار را انجام دهیم: $$(a - ۱) \times \frac{a^n - ۱}{a - ۱} = (a - ۱) \times (۱ + a + a^۲ + \dots + a^{n-۱})$$ در سمت چپ، $(a-۱)$ در صورت و مخرج ساده می‌شود: $$\mathbf{a^n - ۱ = (a-۱)(۱ + a + a^۲ + \dots + a^{n-۱})}$$ **نتیجه‌گیری و توضیح مفهوم:** این اتحاد، یک **اتحاد جبری** بسیار مهم است که به ما می‌گوید چگونه می‌توانیم عبارت **اختلاف توان‌های $n$ام** ($a^n - ۱$) را به حاصل‌ضرب دو عبارت تجزیه کنیم: 1. **عبارت «لاغر»:** $(a-۱)$ 2. **عبارت «چاق»:** مجموع توان‌های $a$ از $a^۰=۱$ تا $a^{n-۱}$